Tailieumoi.vn xin thông báo tới quý thầy cô và các bạn học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu về lượng lăng trụ: công thức tính và phương pháp ứng dụng, tài liệu có đầy đủ lý thuyết và các phương pháp khác. lăng kính có đáp án và đáp án chi tiết, giúp các em học sinh có thêm công cụ phân tích, củng cố kiến ​​thức, chuẩn bị tốt nhất cho kì thi cuối kì THPT sắp tới. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả như ý muốn.

Thể tích của lăng kính: công thức tính toán và phương pháp ứng dụng

1. Ý nghĩa:

Cho hai mặt phẳng song song $\left(\alpha \right)$ , $\left({\alpha }^{‘}\right)$ . Bên trên $\left(\alpha \right)$ tìm một đa giác lồi ${\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}{\mathrm{MỘT}}_2\mathrm{\dots .}{\mathrm{MỘT}}_N$ qua các đường của đa giác này, chúng tạo thành các đường giao nhau $\left({\alpha }^{‘}\right)$ TRONG ${{\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}}^{‘},{{\mathrm{MỘT}}_2}^{‘},\mathrm{\dots .},{{\mathrm{MỘT}}_N}^{‘}$

Hình bao gồm hai đa giác ${\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}{\mathrm{MỘT}}_2\mathrm{\dots .}{\mathrm{MỘT}}_N$ , ${{\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}}^{‘}{{\mathrm{MỘT}}_2}^{‘}\mathrm{\dots .}{{\mathrm{MỘT}}_N}^{‘}$ và hình bình hành ${\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}{\mathrm{MỘT}}_2{{\mathrm{MỘT}}_2}^{‘}{{\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}}^{‘},{\mathrm{MỘT}}_2{\mathrm{MỘT}}_3{{\mathrm{MỘT}}_3}^{‘}{{\mathrm{MỘT}}_2}^{‘}\mathrm{\dots .},{\mathrm{MỘT}}_N{\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}{{\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}}^{‘}{{\mathrm{MỘT}}_N}^{‘}$ nó được gọi là một lăng kính, tức là ${\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}{\mathrm{MỘT}}_2\mathrm{\dots .}{\mathrm{MỘT}}_N.{{\mathrm{MỘT}}_{\mathrm{Đầu\; tiên}}}^{‘}{{\mathrm{MỘT}}_2}^{‘}\mathrm{\dots .}{{\mathrm{MỘT}}_N}^{‘}$

2. Lăng kính đặc biệt

a) Lăng trụ đứng: là lăng trụ có mặt bên hướng xuống dưới. Các mặt bên là hình chữ nhật. Cạnh này bằng chiều dài của lăng kính.

b) Đa giác cố định: Là đa giác đứng có đáy là đa giác đều. Các cạnh của lăng trụ đều là hình chữ nhật và bằng nhau.

c) Hình hộp: lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

+) 6 mặt của hình hộp là hình bình hành.

+) Hai mặt phân biệt thì bằng nhau và bằng nhau.

+) Bốn đường chéo của hình lập phương xen kẽ nhau giữa các đường.

d) Hộp chữ nhật: và một cái hộp Cả 6 mặt đều là hình chữ nhật.

đ) Trộm cắp: Đó là một cái hộp Có 6 mặt đều là hình vuông (bằng nhau).

3. Công thức chữ:

a) Thể tích của lăng trụ

$\boxed{{\mathrm{vẽ\; nó}}_{\mathrm{VẬN\; CHUYỂN}\mathrm{MỘT\; TỶ}}=S.h}$

Và: S: Điểm bắt đầu

h: chiều cao.

b) Thể tích hình hộp chữ nhật

$\boxed{\mathrm{vẽ\; nó}=\mathrm{Một}.b.c}$

trong đó a, b, c là ba chiều.

c) Khối lượng của khối lập phương

$\boxed{\mathrm{vẽ\; nó}={\mathrm{Một}}^3}$

trong đó a là chiều dài cạnh.

4. Cách tính thể tích của khối lăng trụ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Thông thường, độ dài của đa diện được cho ngay đầu bài (độ dài được cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào giả thiết về quan hệ các đường vuông góc (độ dài của gián tiếp), được sử dụng nhiều nhất là: định lý 3 đường vuông góc, định lý về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,…

+) Tính độ dài và chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc hệ thức lượng giác trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lí cosin,…

+) Có thể tính độ cao bằng cách quay lại bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu như $Ồ\mathrm{MỘT}//\left(\alpha \right)$ đó là nó $đ\left(Ồ,\left(\alpha \right)\right)=đ\left(\mathrm{MỘT},\left(\alpha \right)\right)$

Nếu như $Ồ\mathrm{MỘT}\cap \left(\alpha \right)=\left\{\mathrm{Tôi}\right\}$ đó là nó $\frac{đ\left(Ồ,\text{ĐẾN}\left(\alpha \right)\right)}{đ\left(\mathrm{MỘT},\left(\alpha \right)\right)}=\frac{\mathrm{Tôi}Ồ}{\mathrm{Tôi}\mathrm{MỘT}}$(Định lý Tales)

Bước 2: Tìm điểm bắt đầu bằng công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức khối lượng.

5. Tập thể dục

Câu hỏi 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a, AA’ = 2a. Giá trị của lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ là

MỘT. $\frac{2{\mathrm{Một}}^3}{3}$

b. $2{\mathrm{Một}}^3$

C. $\frac{{\mathrm{Một}}^3}{3}$

Đ. ${\mathrm{Một}}^3$

Trả lời

Chọn THỬ THÁCH

Ta có chiều cao lăng trụ AA’ = 2a.

Tầng trệt là:

$S_{\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{CỔ\; TÍCH}}=\frac{\mathrm{Đầu\; tiên}}{2}\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}.\mathrm{MỘT}\mathrm{CỔ\; TÍCH}=\frac{\mathrm{Đầu\; tiên}}{2}.\mathrm{Một}.\mathrm{Một}=\frac{{\mathrm{Một}}^2}{2}$

Thể tích của lăng trụ là:

${\mathrm{vẽ\; nó}}_{\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{CỔ\; TÍCH}.\mathrm{MỘT}‘\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}‘\mathrm{CỔ\; TÍCH}‘}=S_{\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{CỔ\; TÍCH}}.\mathrm{MỘT}\mathrm{MỘT}‘=\frac{{\mathrm{Một}}^2}{2}.2\mathrm{Một}={\mathrm{Một}}^3$

Phần 2: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác cân cạnh bên A’B’C’ $\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}=\mathrm{Một}\sqrt{3}$ góc giữa AC và (ABC) bằng $45°$ . Tính thể tích của lăng trụ.

MỘT. $\frac{3\sqrt{3}}{2}{\mathrm{Một}}^3.$

b. ${\mathrm{Một}}^3.$

C. $3\sqrt{3}{\mathrm{Một}}^3.$

Đ. $\frac{{\mathrm{Một}}^3}{2}.$

Trả lời

Chọn MỘT

Câu 3: đọc thang động của hình lập phương có độ dài là đường chéo $\sqrt{\mathrm{mười\; hai}}$ .

MỘT. số 8

b. 24

C. mười hai

Đ. 16

Giải pháp

Chọn MỘT.

AB = a. Vì đáy to $\Rightarrow \mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{Dễ}=\mathrm{Một}\sqrt{2}$

Bởi vì vuông trên B nên ${\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^{‘}{\mathrm{Dễ}}^2=\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}{{\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^{‘}}^2+\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}{\mathrm{Dễ}}^2$

$\mathrm{mười\; hai}={\mathrm{Một}}^2+2{\mathrm{Một}}^2$

$\iff$và = 2.

Do đó thể tích của hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ là:

${\mathrm{vẽ\; nó}}_{\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{CỔ\; TÍCH}\mathrm{Dễ}.\mathrm{MỘT}‘\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}‘\mathrm{CỔ\; TÍCH}‘\mathrm{Dễ}‘}={\mathrm{Một}}^3=2^3=\mathrm{số\; 8.}$

Câu 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) là $60°$ tam giác ABC, cạnh bên phải của C là một góc tương tự $60°$ . Điểm B’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ theo a.

Trả lời

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vì thế ${\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^{‘}\mathrm{DANH\; SÁCH}\perp \left(\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{CỔ\; TÍCH}\right)$

Tam giác B’BG vuông góc với G nên góc B’BG nhọn.

BG là hệ số góc của đường thẳng BB’ nằm trên (ABC) nên góc giữa BB’ và (ABC) bằng góc giữa BB’ và BG và bằng góc B’BG, bằng $60°$ .

Tam giác B’BG nằm bên phải G nên:

$$\begin{gathered} {\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^{‘}\mathrm{DANH\; SÁCH}=\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}{\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^{‘}.\mathrm{KHÔNG}\widehat{{\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^{‘}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{DANH\; SÁCH}} \\ =\mathrm{Một}.\mathrm{KHÔNG}60°=\frac{\mathrm{Một}\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

$\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{DANH\; SÁCH}=\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}{\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^{‘}.\cos \widehat{{\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^{‘}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{DANH\; SÁCH}}=\mathrm{Một}.c\text{hệ điều hành}60°=\frac{\mathrm{Một}}{2}$

Gọi Hoa Kỳ sau đó giữa AC, chúng tôi có nó

$\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{Hoa\; Kỳ}=\frac{3}{2}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{DANH\; SÁCH}=\frac{3\mathrm{Một}}{4}.$

Đặt AB = 2x

Vì tam giác ABC vuông góc với C nên ta có:

+) $\mathrm{MỘT}\mathrm{CỔ\; TÍCH}=\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}.\cos \widehat{\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{MỘT}\mathrm{CỔ\; TÍCH}}=2x.\cos {60}^o$

$=x\Rightarrow \mathrm{CỔ\; TÍCH}\mathrm{Hoa\; Kỳ}=\frac{x}{2}$

+) $\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{CỔ\; TÍCH}=\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}.\mathrm{KHÔNG}\widehat{\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{MỘT}\mathrm{CỔ\; TÍCH}}=2x.\mathrm{KHÔNG}{60}^0$

$=2x.\frac{\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3}$

Tam giác BCM vuông tại C họ nên

$$\begin{gathered} \mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}{\mathrm{Hoa\; Kỳ}}^2=\mathrm{CỔ\; TÍCH}{\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^2+\mathrm{CỔ\; TÍCH}{\mathrm{Hoa\; Kỳ}}^2 \\ \iff \frac{9{\mathrm{Một}}^2}{16}={\left(x\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{13x^2}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{3\mathrm{Một}\sqrt{13}}{26} \end{gathered}$$

Diện tích tam giác ABC là:

$$\begin{gathered} S_{\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{CỔ\; TÍCH}}=\frac{\mathrm{Đầu\; tiên}}{2}.\mathrm{CỔ\; TÍCH}\mathrm{MỘT}.\mathrm{CỔ\; TÍCH}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó} \\ =\frac{\mathrm{Đầu\; tiên}}{2}.x.x\sqrt{3}=\frac{9{\mathrm{Một}}^2\sqrt{3}}{104} \end{gathered}$$

Do đó thể tích của khối lăng trụ đã cho là $\mathrm{vẽ\; nó}={\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}}^{‘}\mathrm{DANH\; SÁCH}.S_{\mathrm{MỘT}\mathrm{Gỡ\; bỏ\; nó}\mathrm{CỔ\; TÍCH}}=\frac{27{\mathrm{Một}}^3}{208}$